Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1，數(shù)列{b_n}滿足a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=4ⁿ．

Answer 1

分析 由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，n≥2時(shí)，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2（n-1）}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ，相減可得a_nb_n=4ⁿ（2n-1），解得b_n．n=1時(shí)，a₁b₁=4，解得b₁．

解答 解：由數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1，
數(shù)列{b_n}滿足a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，
∴n≥2時(shí)，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2（n-1）}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ，
∴a_nb_n=4ⁿ（2n-1），∴b_n=4ⁿ．
n=1時(shí)，a₁b₁=$\frac{20}{9}+\frac{1}{9}×{2}^{4}$=4，解得b₁=4，上式對(duì)于n=1時(shí)也成立．
∴b_n=4ⁿ．
故答案為：4ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、方程思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．