Question

7．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-4cos²$\frac{ωx}{2}$+3（其中ω＞0，x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為$\frac{π}{2}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求出f（x）的值域；
（Ⅱ）由題設(shè)條件與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知f（x）的周期為π，求出ω的值，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-4cos²$\frac{ωx}{2}$+3
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）-2cosωx+1
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$cosωx）+1
=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+1，
由-1≤sin（ωx-$\frac{π}{6}$）≤1，
得-1≤2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，3]；
（Ⅱ）由題設(shè)條件與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，
函數(shù)f（x）的周期為π，
即$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），
解得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$（k∈Z）；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評 本題考查了三角恒等變換以及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．