Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左，右焦點(diǎn)，以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓與橢圓在第一、三象限的交點(diǎn)分別為A、B，若直線AB與直線x+$\sqrt{3}$y-7=0互相垂直，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 由題意得直線AB的斜率為$\sqrt{3}$，即傾斜角為$\frac{π}{3}$．根據(jù)對(duì)稱性可知$∠AO{F}_{2}=\frac{π}{3}$，$∠A{F}_{2}{F}_{1}=\frac{π}{6}$
在Rt△AF₁F₂中，$A{F}_{1}=\sqrt{3}c，A{F}_{2}=c$，則$\sqrt{3}c+c=2a$，⇒$\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$．

解答 解：如圖所示，∵直線AB與直線x+$\sqrt{3}$y-7=0互相垂直，∴直線AB的斜率為$\sqrt{3}$，即傾斜角為$\frac{π}{3}$．
根據(jù)對(duì)稱性可知$∠AO{F}_{2}=\frac{π}{3}$，$∠A{F}_{2}{F}_{1}=\frac{π}{6}$
在Rt△AF₁F₂中，$A{F}_{1}=\sqrt{3}c，A{F}_{2}=c$，
根據(jù)橢圓的定義則$\sqrt{3}c+c=2a$，⇒$\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的離心率，解題的關(guān)鍵是要合理利用橢圓、圓的性質(zhì)，直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．