Question

5．某制瓶廠要制造一批軸截面如圖所示的瓶子，瓶子是按照統(tǒng)一規(guī)格設計的，瓶體上部為半球體，下部為圓柱體，并保持圓柱體的容積為3π．設圓柱體的底面半徑為x，圓柱體的高為h，瓶體的表面積為S．
（1）寫出S關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域；
（2）如何設計瓶子的尺寸（不考慮瓶壁的厚度），可以使表面積S最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)體積公式求出h，再根據(jù)表面積公式計算即可得到S與x的關系式，
（2）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值得關系即可求出．

解答 解：（1）據(jù)題意，可知πx²h=3π，得$h=\frac{3}{x^2}$，
$S=\frac{1}{2}•4π{x^2}+π{x^2}+2πx•\frac{3}{x^2}=3π{x^2}+\frac{6π}{x}，（x＞0）$
（2）${S^'}=6πx-\frac{6π}{x^2}$，
令S′=0，得x=±1，舍負，
當S′（x）＞0時，解得x＞1，函數(shù)S（x）單調遞增，
當S′（x）＜0時，解得0＜x＜1，函數(shù)S（x）單調遞減，
故當x=1時，函數(shù)有極小值，且是最小值，S（1）=9π
答：當圓柱的底面半徑為1時，可使表面積S取得最小值9π．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)的最值在實際生活中的應用，屬于中檔題