已知,,圓,一動(dòng)圓在軸右側(cè)與軸相切,同時(shí)與圓相外切,此動(dòng)圓的圓心軌跡為曲線C,曲線E是以,為焦點(diǎn)的橢圓。
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)曲線C與曲線E相交于第一象限點(diǎn)P,且,求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)在(1)、(2)的條件下,直線與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)M在曲線C上,求直線的斜率的取值范圍。
(1);(2)
解析試題分析:(1)設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為(x,y)(x>0),由動(dòng)圓在y軸右側(cè)與y軸相切,同時(shí)與圓F2相外切,知|CF2|-x=1,由此能求出曲線C的方程.
(2)依題意,c=1,|PF1|=,得xp=,由此能求出曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(3)設(shè)直線l與橢圓E交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),將A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程中,得3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0,由此能夠求出直線l的斜率k的取值范圍
解:(1)設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為(x,y)(x>0)
因?yàn)閯?dòng)圓在y軸右側(cè)與y軸相切,同時(shí)與圓F2相外切,
所以|CF2|-x=1,…(1分)
∴(x-1)2+y2=x+1化簡(jiǎn)整理得y2=4x,曲線C的方程為y2=4x(x>0); …(3分)(2)依題意,c=1,|PF1|=,得xp=,…(4分)∴|PF2|=,又由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2.…(5分)∴b2=a2-c2=3,所以曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
=1.…(6分)(3)設(shè)直線l與橢圓E交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),將A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程中,得3x12+4y12-12=0,3x22+4y22-12=0兩式相減得3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0,∴=-,…(7分)∵y02=4x0,∴直線AB的斜率k==-y0,…(8分)由(2)知xp=,∴yp2=4xp=,∴yp=±由題設(shè)-<y0< (y0≠0),∴-<-y0<,…(10分)即-<k<(k≠0).…(12分)
考點(diǎn):曲線方程
點(diǎn)評(píng):本題考查曲線方程的求法,考查直線的斜率的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意點(diǎn)差法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)是(0,),(0,),又點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線的斜率為,若直線與橢圓交于、兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓過點(diǎn),離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為、.點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn),直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、,為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)直線、的斜率分別為、.
(i)證明:;
(ii)問直線上是否存在點(diǎn),使得直線、、、的斜率、、、滿足?若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn),為橢圓第一象限上的點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn),橢圓左焦點(diǎn)為,連接交于點(diǎn)D。
(1)如果,求橢圓的離心率;
(2)在(1)的條件下,若直線的傾斜角為且△ABC的面積為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓的右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為,離心率為,點(diǎn)在橢圓上,以為圓心,為半徑的圓與的兩個(gè)公共點(diǎn)是.
(1)若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,求圓的方程;
(2)若三點(diǎn)在同一條直線上,且原點(diǎn)到直線的距離為,求橢圓方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若直線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),且與雙曲線的一條漸近線平行.
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)與軸不平行的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)的垂直平分線為,求直線在軸上截距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(,)的圖象恒過定點(diǎn),橢圓:
()的左,右焦點(diǎn)分別為,,直線經(jīng)過點(diǎn)且與⊙:相切.
(1)求直線的方程;
(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)并與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為,且,求內(nèi)切圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓短半軸長(zhǎng)半徑的圓與直線y=x+ 相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為,是橢圓的右焦點(diǎn),試探究以為
直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F、F,A是橢圓C上的一點(diǎn),AF⊥FF,O是坐標(biāo)原點(diǎn),OB垂直AF于B,且OF=3OB.
(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點(diǎn)M(x,y)處的切線交橢圓C于Q、Q兩點(diǎn),那么OQ⊥OQ”成立.
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