【題目】已知動圓P經(jīng)過點，并且與圓相切.

（Ⅰ）求圓心P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）O是坐標原點，過點的直線與C交于A，B兩點，在C上是否存在點Q，使得四邊形是平行四邊形？

【答案】(1) ；

(2) 直線為或時，橢圓C上存在點Q，否則不存在.

【解析】

(1) 由橢圓的定義可得，P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，進而求出方程.

(2) 假設存在，根據(jù)平行四邊形已知三個點坐標，表示Q的坐標，設直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理整理Q的坐標，根據(jù)Q在橢圓上，求得直線方程.

(1) 由題意可得N在圓M內(nèi)部，所以兩圓內(nèi)切，

所以，

由橢圓的定義可知，點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

設橢圓方程為，

其中，，

所以，

所以點的軌跡的方程為.

(2) 假設C上存在點Q，使得四邊形是平行四邊形，

由題意可知，直線的斜率存在，設直線的方程為：

設直線與橢圓C的交點，

則

聯(lián)立可得，

由韋達定理可得，

所以，

點 Q在橢圓C上，所以，

解得

綜上可得，直線為或時，

橢圓C上存在點Q，使得四邊形是平行四邊形，否則不存在.

練習冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標原點為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（1）若點在直線上，求直線的極坐標方程；

（2）已知，若點在直線上，點在曲線上，且的最小值為，求的值.

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【題目】某學校數(shù)學建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度（每層玻璃的厚度相同）及兩層玻璃間夾空氣層厚度對保溫效果的影響，利用熱傳導定律得到熱傳導量滿足關系式，其中玻璃的熱傳導系數(shù)焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空氣的熱傳導系數(shù)焦耳/（厘米·度），為室內(nèi)外溫度差，值越小，保溫效果越好，現(xiàn)有4種型號的雙層玻璃窗戶，具體數(shù)據(jù)如下表：

型號

每層玻璃厚度（單位：厘米）

玻璃間夾空氣層厚度（單位：厘米）

型

0.4

3

型

0.3

4

型

0.5

3

型

0.4

4

則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是（ ）

A.型B.型C.型D.型

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【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D與AD1交于點E，AA1＝AD＝2AB＝4.

（1）證明：AE⊥平面ECD；

（2）求點C1到平面AEC的距離.

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【題目】已知四面體中，棱，所在直線所成角為，且，，，面和面所成的銳二面角為，面和面所成的銳二面角為，當四面體的體積取得最大值時（ ）.

A.B.C.D.不能確定

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【題目】如圖1，在四邊形中，，，，，，是上的點，，為的中點．將沿折起到的位置，使得，如圖2．

（1）求證：平面平面；

（2）點在線段上，當直線與平面所成角的正弦值為時，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年4月8日，武漢市雷神山醫(yī)院為確診新型冠狀病毒肺炎患者，需要檢測核酸是否為陽性，現(xiàn)有份核酸樣本，有以下兩種檢測方式：（1）逐份檢測，則需要檢測次；（2）混合檢測，將其中(，且)份核酸樣本分別取樣混合在一起檢測，若檢測結果為陰性，這份核酸樣本全為陰性，因而這份核酸樣本只要檢測一次就夠了，如果檢測結果為陽性，為了明確這份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這份樣本再逐份檢測，此時這份核酸樣本的檢測次數(shù)總共為次.假設在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.

（1）假設有5份核酸樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢測方式，求恰好經(jīng)過4次檢測就能把陽性樣本全部檢測出來的概率.

（2）現(xiàn)取其中(，且)份核酸樣本，記采用逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)為，采用混合檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)為.

①試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求關于的函數(shù)關系式；

②若，用混合檢測方式可以使得樣本需要檢測的總次數(shù)的期望值比逐份檢測的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：

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【題目】從年底開始，非洲東部的肯尼亞等國家爆發(fā)出了一場嚴重的蝗蟲災情.目前，蝗蟲已抵達烏干達和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區(qū)蔓延.蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害，每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關，現(xiàn)收集了以往某地的組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

平均溫度

平均產(chǎn)卵數(shù)個

表中，.

（1）根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求出關于的回歸方程.（結果精確到小數(shù)點后第三位）

（2）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到以上時蝗蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到以上的概率為.

①記該地今后年中，恰好需要次人工防治的概率為，求取得最大值時相應的概率；

②根據(jù)①中的結論，當取最大值時，記該地今后年中，需要人工防治的次數(shù)為，求的數(shù)學期望和方差.

附：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：，.

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【題目】中國古代十進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數(shù)1－9的一種方法．例如：3可表示為“≡”，26可表示為“=⊥”，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1－9這9個數(shù)字表示兩位數(shù)中，能被3整除的概率是（ ）

A.B.C.D.

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