Question

6．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=3，證明：$\frac{{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 由基本不等式，得$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{{a}^{2}}$+b≥2a，$\frac{^{2}}{c}$+c≥2b，相加即可證明．

解答 證：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，
所以由基本不等式，得$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{{a}^{2}}$+b≥2a，$\frac{^{2}}{c}$+c≥2b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取等號(hào)
三式相加，得：$\frac{{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$≥a+b+c．
又a+b+c=3，
所以$\frac{{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明，關(guān)鍵是掌握基本不等式成立的條件，一正二定三相等，屬于中檔題