Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（3）若f（1）=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，證明：e-2＜a＜1．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率k=f′（1）．
（2）由f（x）=e^x-ax²-bx-1，有g(shù)（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，所以g′（x）=e^x-2a．當(dāng)x∈[0，1]時，g′（x）∈[1-2a，e-2a]．對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（3）設(shè)x₀為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個零點，則由f（0）=f（x₀）=0，可知：f（x）在區(qū)間（0，x₀）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．則g（x）不可能恒為正，也不可能恒為負．故g（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)存在零點x₁，同理，g（x）在區(qū)間（x₀，1）內(nèi)存在零點x₂，所以g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個零點．再利用（2）的結(jié)論即可得出．

解答 （1）解：由f（x）=e^x-ax²-bx-1，有f′（x）=e^x-2ax-b，所以k=f′（1）=e-2a-b．
（2）解：由f（x）=e^x-ax²-bx-1，有g(shù)（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，所以g′（x）=e^x-2a．
當(dāng)x∈[0，1]時，g′（x）∈[1-2a，e-2a]．
（i）當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；
（ii）當(dāng)a≥$\frac{e}{2}$時，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減．
因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；
（iii）當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$時，令g′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，ln（2a）]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（2a），1]上單調(diào)遞增．
于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b．
綜上所述：當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；
當(dāng)a≥$\frac{e}{2}$時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b．
（3）證明：設(shè)x₀為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個零點，則由f（0）=f（x₀）=0，
可知：f（x）在區(qū)間（0，x₀）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．則g（x）不可能恒為正，也不可能恒為負．故g（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)存在零點x₁，
同理，g（x）在區(qū)間（x₀，1）內(nèi)存在零點x₂，所以g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個零點．
由（2）知，當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，故g（x）在（0，1）內(nèi)至多有一個零點．
當(dāng)a≥$\frac{e}{2}$時，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，故g（x）在（0，1）內(nèi)至多有一個零點，
所以$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$．此時g（x）在區(qū)間[0，ln（2a）]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（2a），1]上單調(diào)遞增，因此x₁∈（0，ln（2a）]，x₂∈（ln（2a），1），必有g(shù)（0）=1-b＞0，g（1）=e-2a-b＞0．
由f（1）=0有a+b=e-1＜2，有g(shù)（0）=a-e+2＞0，g（1）=1-a＞0，解得e-2＜a＜1．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點時，e-2＜a＜1．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、研究切線斜率、函數(shù)零點、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．