Question

3．若函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1對于任意a∈[-1，1]，都有f（x）＜0，則實數(shù)x的取值范圍是（1，2）．

Answer 1

分析 把原函數(shù)整理成關于a的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在[-1，1]上的最大值，令最大值小于0，可得x的范圍．

解答 解：函數(shù)可整理為f（x）=（x²-x+1）a+1-x
∵對于a∈[-1，1]時恒有f（x）＜0，
∴（x²-x+1）a+1-x＜0恒成立．
令g（a）=（x²-2x+1）a+1-x．
則函數(shù)g（a）在區(qū)間[-1，1]上的最大值小于0，
∵g（a）為一次函數(shù)，且一次項系數(shù)x²-2x+1＞0，
∴函數(shù)g（a）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴g（a）_max=g（1）=x²-2x+1+1-x=x²-3x+2＜0．
解得1＜x＜2．
故答案為：（1，2）．

點評 本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最大值．在把恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題的過程中，體現(xiàn)了轉化的思想．