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13.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a=bcosC+33csinB
(1)求角B的值;
(2)若a+c=6,且△ABC的面積為332,求邊b的長.

分析 (1)利用已知條件通過正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)求解得到sinC,然后求解B的正確函數(shù)值.
(2)利用三角形的面積求出ab的值,然后通過余弦定理,轉(zhuǎn)化求解.

解答 解:(1)由a=bcosC+33csinB及正弦定理得:sinA=sinBcosC+33sinCsinB.…(1分)
sinB+C=sinBcosC+33sinCsinB.…(2分)
sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+33sinCsinB.…(3分)
cosBsinC=33sinCsinB…(4分)
又∵C為三角形內(nèi)角,可得sinC≠0,
tanB=3.…(5分)
∵B∈(0,π),
B=\frac{π}{3}.…(6分)
(2)∵△ABC面積為\frac{{3\sqrt{3}}}{2},∴\frac{1}{2}acsinB=\frac{{3\sqrt{3}}}{2},即\frac{1}{2}ac•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2},ac=6.…(9分)
由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac=36-18=18,
b=3\sqrt{2}.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積以及三角形的解法,考查計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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