【題目】如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直,AB= ,AF=1,G為線段AD上的任意一點.
(1)若M是線段EF的中點,證明:平面AMG⊥平面BDF;
(2)若N為線段EF上任意一點,設直線AN與平面ABF,平面BDF所成角分別是α,β,求 的取值范圍.
【答案】
(1)證明:設AC∩BD=O,連結OF,OM,
由已知得AO=1,AF=1,
∴四邊形AFMO是正方形,∴AM⊥OF,
又∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,交線是CA,DB⊥CA,
∴DB⊥平面ACEF,又AM平面ACEF,∴DB⊥AM,
∵BD∩OF=O,∴AM⊥平面BDF,
∵AM平面AMG,∴平面AMG⊥平面BDF
(2)解:∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,交線是CA,EC⊥CA,
∴EC⊥平面ABCD,∴CD、CB、CE兩兩垂直,
分別以CD、CB、CE為x,y,z軸建立坐標系,
則平面ABF的法向量 =(0,1,0),
由(1)得平面BDF的法向量 = =(﹣ ,﹣ ,1),
由N為線段EF上任意一點,
設 = = =λ( ),(λ∈[0,1]),
∴ =((λ﹣1) ,(λ﹣1) ,1),
∴sinα= = = ,
∵λ∈[0,1],∴ = =1﹣ ∈[0, ].
【解析】(1)設AC∩BD=O,連結OF,OM,推導出AM⊥OF,DB⊥CA,從而DB⊥平面ACEF,進而DB⊥AM,AM⊥平面BDF,由此能證明平面AMG⊥平面BDF.(2)分別以CD、CB、CE為x,y,z軸建立坐標系,利用向量法能求出 的取值范圍.
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長為l.
(1)若α=75°,R=12 cm,求扇形的弧長l和面積;
(2)若扇形的周長為20 cm,當扇形的圓心角α為多少弧度時,這個扇形的面積最大?
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【題目】已知拋物線的頂點為原點,焦點為F(1,0),過焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,過AB的中點M作準線的垂線與拋物線交于點P,若|AB|=6,則點P的坐標為 .
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【題目】某中學的高二(1)班男同學有名,女同學有名,老師按照分層抽樣的方法組建了一個人的課外興趣小組.
(1)求某同學被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學的人數(shù);
(2)經過一個月的學習、討論,這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗,方法是先從小組里選出名同學做實驗,該同學做完后,再從小組內剩下的同學中選一名同學做實驗,求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率;
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【題目】如圖所示,直角梯形ACDE與等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直,F為BC的中點,, ,.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面.
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【題目】
為了保護環(huán)境,發(fā)展低碳經濟,某單位在政府部門的支持下,進行技術攻關,采用了新工藝,新上了把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品的項目.經測算,月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關系可以近似的表示為:,且每處理一噸二氧化碳可得到能利用的化工產品價值為200元,若該項目不獲利,政府將補貼.
(I)當時,判斷該項目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損;
(II)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?
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【題目】某玩具生產公司每天計劃生產衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共 個,生產一個衛(wèi)兵需 分鐘,生產一個騎兵需 分鐘,生產一個傘兵需 分鐘,已知總生產時間不超過 小時,若生產一個衛(wèi)兵可獲利潤 元,生產一個騎兵可獲利潤 元,生產一個傘兵可獲利潤 元.
(1)用每天生產的衛(wèi)兵個數(shù) 與騎兵個數(shù) 表示每天的利潤 (元);
(2)怎么分配生產任務才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,E、F分別為PC、BD的中點,側面PAD⊥底面ABCD.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)若EF⊥PC,求證:平面PAB⊥平面PCD.
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【題目】為了考查兩個變量和之間的線性關系,甲、乙兩位同學各自獨立作了次和次試驗,并且利用線性回歸方法,求得回歸直線分別為、,已知兩人得的試驗數(shù)據(jù)中,變量和的數(shù)據(jù)的平均值都相等,且分別都是、,那么下列說法正確的是( )
A. 直線和一定有公共點 B. 必有直線
C. 直線和相交,但交點不一定是 D. 和必定重合
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