Question

1．證明：
（1）$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}-\sqrt{4}$
（2）$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 使用分析法尋找使不等式成立的條件，只需條件恒成立即可；

解答 證明：（1）欲證$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$，
只需證（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）²＞（$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$）²，即證5-2$\sqrt{6}$＞9-4$\sqrt{5}$，
即證$\sqrt{6}$＞2（$\sqrt{5}$-1），
只需證6＞4（6-2$\sqrt{5}$），即證9＞4$\sqrt{5}$，
只需證81＞80，
顯然81＞80恒成立，
∴$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$．
（2）欲證$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
只需證（$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$）²＜（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）²，即證1-$\sqrt{（n+2）（n+1）}$＜-$\sqrt{n（n+1）}$，
只需證$\sqrt{（n+2）（n+1）}$＞$\sqrt{n（n+1）}$+1
只需證（n+2）（n+1）＞n（n+1）+1+2$\sqrt{n（n+1）}$，
即證n+1＞$\sqrt{n（n+1）}$，
只需證（n+1）²＞n（n+1），即證n+1＞n，
只需證1＞0，
顯然1＞0恒成立，
∴$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．

點評 本題考查了不等式的證明方法，屬于中檔題．