Question

在直角坐標(biāo)系xoy中線段AB與y軸垂直，其長度為2，AB的中點C在直線x+2y-4=0上，則∠AOB的最大值為

 

．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：如圖所示．由題意可設(shè)A（a，b），B（2+a，b），則線段AB的中點C（a+1，b）．由于AB的中點C在直線x+2y-4=0上，可得a+2b=3．分類討論：①當(dāng)a=0時，b=

3

2

．可得tan∠AOB=

|AB|

|OA|

．②當(dāng)a=-2時，b=

5

2

．可得tan∠AOB=

|AB|

|OA|

．③當(dāng)b=0時，a=3．可得tan∠AOB=0．④當(dāng)a≠0，-2且b≠0時，此時kOA=

b

a

，kOB=

b

2+a

．
當(dāng)b＞0時，可得tan∠AOB=

kOA-kOB

1+kOA•kOB

=

b a - b 2+a

1+ b a • b 2+a

=

2

5b+ 15 b -16

．當(dāng)b＜0時，tan∠AOB=

2

16-5b- 15 b

．再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：如圖所示．
由題意可設(shè)A（a，b），B（2+a，b），則線段AB的中點C（a+1，b）．
∵AB的中點C在直線x+2y-4=0上，∴a+1+2b-4=0，化為a+2b=3．
①當(dāng)a=0時，b=

3

2

．此時A(0，

3

2

)，B(2，

3

2

)．
可得tan∠AOB=

|AB|

|OA|

=

2

3 2

=

4

3

．
②當(dāng)a=-2時，b=

5

2

．此時A(-2，

5

2

)，B(0，

5

2

)．
可得tan∠AOB=

|AB|

|OA|

=

2

5 2

=

4

5

．
③當(dāng)b=0時，a=3．此時A（3，0），B（5，0）．
可得tan∠AOB=0．
④當(dāng)a≠0，-2且b≠0時，此時kOA=

b

a

，kOB=

b

2+a

．
當(dāng)b＞0時，可得tan∠AOB=

kOA-kOB

1+kOA•kOB

=

b a - b 2+a

1+ b a • b 2+a

=

2b

a(2+a)+b2

=

2b

(3-2b)(5-2b)+b2

=

2

5b+ 15 b -16

．
tan∠AOB≤

2

2 5b• 15 b -16

=

1

5 3 -8

=

5 3 +8

11

，當(dāng)且僅當(dāng)b=

3

，a=3-2

3

時取等號．
當(dāng)b＜0時，tan∠AOB=

2

16-5b- 15 b

≤

1

8+5 3

．
綜上可知：只有當(dāng)a=3-2

3

時，b=

3

．可得tan∠AOB的最大值

5 3 +8

11

．
故答案為：arctan

5 3 +8

11

．

點評：本題考查了直線的斜率計算公式、到角公式、基本不等式，考查了分類討論和計算能力，屬于難題．