18.一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體,若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉動,則正方體棱長的最大值為( 。
A.3B.2C.$\sqrt{2}$D.1

分析 在一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體,并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉動,說明正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi),求出內(nèi)切球的直徑,就是正方體的對角線的長,然后求出正方體的棱長.

解答 解:設球的半徑為r,由正四面體的體積得:
$4×\frac{1}{3}×r×{6}^{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{6}^{2}×\sqrt{{6}^{2}-(\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×6)^{2}}$,
解得r=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
設正方體的最大棱長為a,
∴3a2=($\sqrt{6}$)2,解得a=$\sqrt{2}$.
故選:C.

點評 本題是中檔題,考查正四面體的內(nèi)接球的知識,球的內(nèi)接正方體的棱長的求法,考查空間想象能力,轉化思想,計算能力.

練習冊系列答案
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