Question

14．已知實x，y數(shù)滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≤lnx}\\{x-2y-3≤0}\\{y+1≥0}\end{array}\right.$，則$z=\frac{y+1}{x}$的取值范圍為[0，1]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，由$z=\frac{y+1}{x}$的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點P（0，-1）連線的斜率結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤lnx}\\{x-2y-3≤0}\\{y+1≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

$z=\frac{y+1}{x}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P（0，-1）連線的斜率．
設(shè)過P（0，-1）的直線與曲線y=lnx相切于點B（x₀，lnx₀），
則$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}$，切線方程為y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
把（0，-1）代入得：-1-lnx₀=-1，得x₀=1．
∴切線的斜率為1．
則$z=\frac{y+1}{x}$的取值范圍為[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，是中檔題．