Question

6．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對(duì)任意互不相同的x₁，x₂∈（2，4），都有|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式，得到2ax+a+b=2x-1，根據(jù)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，求出a，b的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，根據(jù)g（x）=f（x）-kx在（2，4）遞減以及二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于k的不等式，解出即可．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=3得c=3，
故f（x）=ax²+bx+3．
因?yàn)閒（x+1）-f（x）=2x-1，
所以a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=2x-1．
即2ax+a+b=2x-1，
根據(jù)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²-2x+3；
（2）由于f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，即有f（x）在（2，4）遞增，
設(shè)x₁＞x₂，則f（x₁）＞f（x₂），
|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|即為f（x₁）-f（x₂）＜k（x₁-x₂），
即有f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，
由題意可得g（x）=f（x）-kx在（2，4）遞減．
由g（x）=x²-（2+k）x+3，對(duì)稱軸為x=$\frac{2+k}{2}$，
即有$\frac{2+k}{2}$≥4，解得k≥6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性以及絕對(duì)值問題，是一道中檔題．