Question

8．已知{a_n}，{b_n}滿足：a₁=2p，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{p}^{2}}{{a}_{n}}$），b_n=$\frac{{a}_{n}+p}{{a}_{n}-p}$（n∈N₊，p＞0），求{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出b_n+1=${_{n}}^{2}$，b₁=3，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵{a_n}，{b_n}滿足：a₁=2p，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{p}^{2}}{{a}_{n}}$），b_n=$\frac{{a}_{n}+p}{{a}_{n}-p}$（n∈N₊，p＞0），
∴b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}+p}{{a}_{n+1}-p}$=$\frac{\frac{{{a}_{n}}^{2}+{p}^{2}}{2{a}_{n}}+p}{\frac{{{a}_{n}}^{2}+{p}^{2}}{2{a}_{n}}-p}$=$\frac{（{a}_{n}+p）^{2}}{（{a}_{n}-p）^{2}}$=${_{n}}^{2}$，
$_{1}=\frac{{a}_{1}+p}{{a}_{1}-p}$=$\frac{2p+p}{2p-p}$=3，
∴$_{2}={3}^{2}$，$_{3}=（{3}^{2}）^{2}={3}^{4}$=${3}^{{2}^{2}}$，$_{4}=（{3}^{4}）^{2}={3}^{8}$=${3}^{{2}^{3}}$，
…
∴$_{n}={3}^{{2}^{n-1}}$．
∴{b_n}的通項(xiàng)公式為$_{n}={3}^{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．