Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+ϕ）+1的圖象過點（0，0），且$-\frac{π}{2}＜ϕ＜0$．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值，并求此時x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，可得$sinϕ=-\frac{1}{2}$，又$-\frac{π}{2}＜ϕ＜0$，從而可求ϕ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 $f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，利用正弦函數(shù)的有界性可求函數(shù)f（x）的最大值，及取最大值時x的值．

解答 解：（Ⅰ） 因為函數(shù)f（x）=2sin（2x+ϕ）+1的圖象過點（0，0），
所以 $sinϕ=-\frac{1}{2}$，又$-\frac{π}{2}＜ϕ＜0$，所以$ϕ=-\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 $f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，所以 f（x）_max=3，
此時由$2x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}，得x=kπ+\frac{2π}{3}\;（k∈Z）$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1是關(guān)鍵，屬于中檔題．