Question

20．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸兩端點為B₁（0，-1）、B₂（0，1），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點P是橢圓C上不在坐標(biāo)軸上的任意一點，直線B₁P和B₂P分別與x軸相交于M，N兩點，
（Ⅰ）求橢圓C的方程和|OM|•|ON|的值；
（Ⅱ）若點M坐標(biāo)為（1，0），過M點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試求△ABN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=1，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則c²=$\frac{3}{4}$a²，由a²-b²=c²，代入即可求得a和b的值，求得橢圓方程，設(shè)點P（x₀，y₀），則直線B₁P方程為y=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$x-1，y=0，得x_M=$\frac{{x}_{0}}{1+{y}_{0}}$，同理可得x_N=$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，∴|OM|•|ON|=丨x_M丨•丨x_N丨=$\frac{{x}_{0}^{2}}{1-{y}_{0}^{2}}$=4；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，代入橢圓方程，由韋達定理求得丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+3}}{{t}^{2}+4}$，S=$\frac{1}{2}$丨MN丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{6}{\sqrt{{t}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+3}}}$，由函數(shù)的單調(diào)性即可求得△ABN面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，由B₁（0，-1）、B₂（0，1），知b=1，…（1分）
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則c²=$\frac{3}{4}$a²，由a²-b²=c²，
a²-1=$\frac{3}{4}$a²，解得：a²=4，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；…（3分）
設(shè)點P（x₀，y₀），則直線B₁P方程為y=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$x-1，
令y=0，得x_M=$\frac{{x}_{0}}{1+{y}_{0}}$，同理可得x_N=$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，
∴|OM|•|ON|=丨x_M丨•丨x_N丨=丨$\frac{{x}_{0}}{1+{y}_{0}}$丨•丨$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$丨=$\frac{{x}_{0}^{2}}{1-{y}_{0}^{2}}$=4，
|OM|•|ON|=4；…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)點M坐標(biāo)為（1，0）時，點N（4，0），丨MN丨=3，…（6分）
設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（t²+4）y²+2ty-3=0，
則y₁+y₂=-$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{3}{{t}^{2}+4}$，…（8分）
丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2t}{{t}^{2}+4}）^{2}+\frac{12}{{t}^{2}+4}}$=$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+3}}{{t}^{2}+4}$，
△ABN面積S=$\frac{1}{2}$丨MN丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{3}{2}$•$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+3}}{{t}^{2}+4}$=$\frac{6}{\sqrt{{t}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+3}}}$，…（10分）
∵t²≥0，則$\sqrt{{t}^{2}+3}$+$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+3}}$≥$\sqrt{3}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
因此當(dāng)t=0，即直線AB的方程為x=1時，△ABN面積的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．