Question

13．已知在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的直角坐標方程及直線l的普通方程；
（2）若曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₁上點P的極角為$\frac{π}{4}$，Q為曲線C₂上的動點，求PQ的中點M到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，可得直角坐標方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．
（2）$P（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直角坐標為（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，利用點到直線的距離公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性可得最大值．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
可得直角坐標方程：${C_1}：{x^2}+{y^2}-4x=0$．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t可得普通方程：x+2y-3=0．
（2）$P（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直角坐標為（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，
∴M到l的距離$d=\frac{|1+cosα+2+sinα-3|}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}|sin（α+\frac{π}{4}）|$≤$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
從而最大值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．