Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₄=$\frac{1}{8}$，且對(duì)任意的正整數(shù)n，滿足a_n+2-a_n≤3ⁿ，a_n+4-a_n≥10×3ⁿ，則a₂₀₁₆=$\frac{8{1}^{504}-80}{8}$．

Answer 1

分析 對(duì)任意的正整數(shù)n，滿足a_n+2-a_n≤3ⁿ，可得a_n+4-a_n+2≤3ⁿ⁺²，a_n+4-a_n≤10×3ⁿ，又a_n+4-a_n≥10×3ⁿ，則a_n+4-a_n=10×3ⁿ，利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：∵對(duì)任意的正整數(shù)n，滿足a_n+2-a_n≤3ⁿ，∴a_n+4-a_n+2≤3ⁿ⁺²．
∴a_n+4-a_n≤10×3ⁿ，
又a_n+4-a_n≥10×3ⁿ，則a_n+4-a_n=10×3ⁿ，
∴a₈-a₄=10×3⁴，a₁₂-a₈=10×3⁸，…，a₂₀₁₆-a₂₀₁₂=10×3²⁰¹²．
∴a₂₀₁₆-a₄=10×（3⁴+3⁸+…+3²⁰¹²）=10×$\frac{81（8{1}^{503}-1）}{81-1}$=$\frac{81（8{1}^{503}-1）}{8}$．
∴a₂₀₁₆=a₄+$\frac{81（8{1}^{503}-1）}{8}$=$\frac{8{1}^{504}-80}{8}$．
故答案為：$\frac{8{1}^{504}-80}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．