Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，a₂=7，a_n=3a_n-1+2a_n-2，n∈N*，n≥3．
（1）求證：a₂₀₁₇一定是奇數(shù)；
（2）①求證：4S_n+3＜$\frac{17}{3}$a_n（n≥2，n∈N*）；
②求證：|a_n+1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n-1}}$|≤$\frac{1}{2}$（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的遞推公式可知：a_n與a_n-1有相同的奇偶性，由a₂=7是奇數(shù)，則a₂₀₁₇是奇數(shù)；
（2）①由a_n=3a_n-1+2a_n-2，采用“累加法”即可求得4S_n+3=5a_n+2a_n-1．由a_n＞0，n≥3時(shí)，a_n-1＜$\frac{1}{3}$a_n，代入即可求得4S_n+3＜$\frac{17}{3}$a_n；
②由|a_n+1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n-1}}$|=$\frac{2{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}$|a_n×$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{{a}_{n-2}}$|，且a_n-1＜$\frac{1}{3}$a_n，則$\frac{2{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}$＜1，采用“放縮法”即可求得|a_n+1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n-1}}$|＜|a₃-$\frac{{a}_{2}^{2}}{{a}_{1}}$|＜$\frac{1}{2}$，當(dāng)n=2時(shí)，|a_n+1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n-1}}$|=$\frac{1}{2}$，即可證明不等式成立．

解答 解：（1）證明：由a_n=3a_n-1+2a_n-2，n∈N^*，n≥3，則a_n與a_n-1有相同的奇偶性，
由a₂=7是奇數(shù)，則a₂₀₁₇是奇數(shù)；
（2）證明①當(dāng)n≥3時(shí)，由a_n=3a_n-1+2a_n-2，
可得a_n-1=3a_n-2+2a_n-3，
…
a₃=3a₂+2a₁，
相加得S_n-a₁-a₂=3（S_n-a_n-a₁）+2（S_n-a_n-1-a_n），
4S_n+3=5a_n+2a_n-1．
因?yàn)閍₁=2，a₂=7，
∴a_n=3a_n-1+2a_n-2＞0，
所以a_n＞0，
當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=3a_n-1+2a_n-2＞3a_n-1，所以a_n-1＜$\frac{1}{3}$a_n，
所以4S_n+3=5a_n+2a_n-1＜5a_n+2×$\frac{1}{3}$a_n=$\frac{17}{3}$a_n．
證明：②當(dāng)n≥3時(shí)，因?yàn)椋簗a_n+1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n-1}}$|=|3a_n+2a_n-1-$\frac{（3{a}_{n-1}+2{a}_{n-2}）^{2}}{{a}_{n-1}}$|=|$\frac{2{a}_{n-1}^{2}-2{a}_{n}{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}$|=$\frac{2{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}$|a_n×$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{{a}_{n-2}}$|，
因?yàn)閍_n-1＜$\frac{1}{3}$a_n（n≥2），
所以$\frac{2{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}$＜$\frac{2}{3}$＜1．
因?yàn)閨a_n+1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n-1}}$|＜|a_n-$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{{a}_{n-2}}$|＜…＜|a₃-$\frac{{a}_{2}^{2}}{{a}_{1}}$|＜$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=2時(shí)，|a_n+1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n-1}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，|a_n+1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n-1}}$|≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查數(shù)列的遞推公式，“累加法”及“放縮法”的應(yīng)用，考查數(shù)列與不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．