Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+$\frac{1}{2}$（ω＞0），與f（x）圖象的對稱軸x=$\frac{π}{3}$相鄰的f（x）的零點為x=$\frac{π}{12}$．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$上的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=1，若向量$\overrightarrow m$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow n$=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先確定函數(shù)的解析式，再討論函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求出C，利用$\overrightarrow m=（{1，sinA}）$與向量$\overrightarrow n=（{2，sinB}）$共線，所以sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①，由余弦定理得，c²=a²+b²$-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab②，即可求a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1+cos2ωx}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$=$sin（{2ωx-\frac{π}{6}}）$
由與f（x）圖象的對稱軸$x=\frac{π}{3}$相鄰的零點為$x=\frac{π}{12}$，得$\frac{1}{4}•\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{3}$$-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，
所以ω=1，即$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{6}}）$
令$z=2x-\frac{π}{6}$，函數(shù)y=sinz單調(diào)增區(qū)間是$[{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}]$，k∈Z，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-$$\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z，
設(shè)$A=[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$，$B=\left\{{\left.x\right|-\frac{π}{6}+kπ≤x≤}\right.$$\left.{\frac{π}{3}+kπ，k∈Z}\right\}$，
易知$A∩B=[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$，
所以當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$時，f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$[{\frac{π}{3}，\frac{5π}{12}}]$上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）$f（C）=sin（{2C-\frac{π}{6}}）-1=0$，則$sin（{2C-\frac{π}{6}}）=1$，
因為0＜C＜π，所以$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
從而$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
解得$C=\frac{π}{3}$．
因為$\overrightarrow m=（{1，sinA}）$與向量$\overrightarrow n=（{2，sinB}）$共線，所以sinB=2sinA，
由正弦定理得，b=2a①
由余弦定理得，c²=a²+b²$-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab②
由①②解得a=1，b=2

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查向量知識的運(yùn)用，考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．