Question

14．已知直線y=x-1過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點，且橢圓C的離心率為$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）以橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的短軸為直徑作圓，若點M是第一象限內(nèi)圓周上一點，過點M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右焦點為F₂，試判斷△PF₂Q的周長是否為定值，若是求出該定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線y=x-1與x軸的交點坐標(biāo)為（1，0），得橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的半焦距c．又離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，得a²=9，b²=8．即可求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0），由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$得（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式表示及直線PQ與圓x²+y²=8相切，表示出PQ，距離公式表示PF₂，QF₂由$|{P{F_2}}|+|{Q{F_2}}|+|{PQ}|=6-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{3}-\frac{6km}{{8+9{k_2}}}$=$6+\frac{6km}{{8+9{k^2}}}-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}=6$，即可求解．

解答 解：（Ⅰ）因為直線y=x-1與x軸的交點坐標(biāo)為（1，0），由題意得橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的半焦距c=1．
又已知離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，所以a²=9，所以b²=8．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．
（Ⅱ）根據(jù)題意作出圖形如圖所示，

設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$得（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，
所以△=（18km）²-4（8+9k²）（9m²-72）=288（9k²-m²+8）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}$，
所以$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{（\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}）-4×\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{4×9×8（9{k^2}-{m^2}+8）}}{{{{（8+9{k^2}）}^2}}}）}$，
因為直線PQ與圓x²+y²=8相切，所以$\frac{m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2\sqrt{2}$，
即$m=\sqrt{8（1+{k^2}）}$，所以$|{PQ}|=-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}$，
因為$|{P{F_2}}|=\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+y_1^2}=\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}=\sqrt{{{（\frac{x_1}{3}-3）}^2}}，0＜{x_1}＜3$，$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，
同理$|{Q{F_2}}|=3-\frac{x_2}{3}$（也可用焦半徑公式），
所以$|{P{F_2}}|+|{Q{F_2}}|+|{PQ}|=6-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{3}-\frac{6km}{{8+9{k_2}}}$=$6+\frac{6km}{{8+9{k^2}}}-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}=6$
因此，△PF₂Q的周長是定值，且定值為6．

點評 本題考查了橢圓的方程，橢圓與圓的切線的綜合問題，同時考查了運算能力，屬于難題．