Question

1．已知函數f（x）滿足$f（{log_a}x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（x-{x^{-1}}）$（其中a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）對于函數f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值為負數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設log_ax=t求出x=a^t，代入原函數化簡求出f（x）的表達式；
（Ⅱ）對a分類討論，分別由指數函數的單調性判斷f（x）的單調性，由函數奇偶性的定義判斷f（x）是奇函數，由奇函數的性質等價轉化f（1-m）+f（1-m²）＜0，結合x的范圍和單調性列出不等式，求出實數m的取值范圍；
（Ⅲ）根據f（x）的單調性和題意求出f（x）的值域，結合條件列出不等式，化簡后由一元二次不等式的解法求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設log_ax=t，則x=a^t，
代入原函數得，$f（t）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{t}-{a}^{-t}）$
則$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-{a}^{-x}）$                    …（2分）
（Ⅱ）當a＞1時，a^x是增函數，a^-x是減函數且$\frac{a}{{a}^{2}-1}＞0$，
所以f（x）是定義域R上的增函數，
同理，當0＜a＜1時，f（x）也是R上的增函數，…（4分）
又f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{-x}-{a}^{x}）$=-f（x），則f（x）為奇函數             …（5分）
由f（1-m）+f（1-m²）＜0得：f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）…（6分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1-{m}^{2}＜1}\\{1-m＜{m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$1＜m＜\sqrt{2}$                  …（8分）
則實數m的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$）；
（Ⅲ）因為f（x）是增函數，
所以x∈（-∞，2）時，f（x）-4∈（-∞，f（2）-4），
又當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值為負數，
所以f（2）-4≤0，…（9分）
則f（2）-4=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{2}-{a}^{-2}）-4$
=$\frac{a}{{a}^{2}-1}•\frac{{a}^{4}-1}{{a}^{2}}-4$=$\frac{{a}^{2}+1}{a}-4≤0$               …（10分）
解得$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1，
所以a的取值范圍是{a|$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1}．…（12分）

點評 本題考查換元法求函數的解析式，函數奇偶性的定義，復合函數單調性的判斷及應用，以及指數函數的單調性，考查分類討論思想，轉化思想，化簡、變形能力．