Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*，函數(shù)f（x）=x²-S_ncosx+2a_n-n在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．若不等式$\frac{λ}{n}$≥$\frac{n+1}{{a}_{n}+1}$對(duì)任意n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值是（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 首先判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，由題意可得f（0）=0，運(yùn)用數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得數(shù)列{a_n+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意可得λ≥$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$對(duì)任意n∈N^*恒成立，設(shè)g（n）=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，作差判斷g（n）的單調(diào)性，可得最大值，即可得到所求范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-S_ncosx+2a_n-n在定義域R內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，
且f（-x）=（-x）²-S_ncos（-x）+2a_n-n=x²-S_ncosx+2a_n-n=f（x），
即f（x）為偶函數(shù)，可得f（0）=0，
則S_n=2a_n-n，
由n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，可得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-2a_n-1+（n-1），
化簡(jiǎn)可得a_n=2a_n-1+1，
即有a_n+1=2（a_n-1+1），
則數(shù)列{a_n+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
可得a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，
則不等式$\frac{λ}{n}$≥$\frac{n+1}{{a}_{n}+1}$對(duì)任意n∈N^*恒成立，
即為λ≥$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$對(duì)任意n∈N^*恒成立，
設(shè)g（n）=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，即有g(shù)（n+1）=$\frac{（n+1）（n+2）}{{2}^{n+1}}$，
g（n+1）-g（n）=$\frac{（1+n）（2-n）}{{2}^{n+1}}$，
當(dāng)n=1，2時(shí)，g（1）＜g（2）=g（3），
當(dāng)n≥3時(shí)，g（n+1）＜g（n），
即有g(shù)（n）遞減，可得g（n）≤g（3）=g（2），
可得g（2）取得最大值，且為$\frac{3}{2}$，
則λ≥$\frac{3}{2}$．
則實(shí)數(shù)λ的最小值是$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，求最值，同時(shí)考查函數(shù)的奇偶性及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的遞推式的運(yùn)用和數(shù)列單調(diào)性，是解題的關(guān)鍵．