Question

12．已知函數(shù)$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$的一條對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$，則實數(shù)a=$\sqrt{3}$；函數(shù)f（x）的最大值為1．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式和二倍角基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數(shù)的圖象和性質，即可求實數(shù)a以及f（x）的取值最小值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{4}}$sin（2x+θ），tanθ=$\frac{1}{a}$．
函數(shù)的對稱軸方程為2x+θ=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z）
對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$，即$\frac{π}{3}+θ$=$\frac{π}{2}$+kπ，
可得θ=$\frac{π}{6}$+kπ，
∵tanθ=$\frac{1}{a}$．
∴$\frac{1}{a}$=tan（$\frac{π}{6}+kπ$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故a=$\sqrt{3}$
當2x+θ=$\frac{π}{2}+2kπ$時，函數(shù)f（x）取得最大值為1．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，屬于基礎題