12.若點(diǎn)P(a,b)在函數(shù)y=-x2+3lnx的圖象上,點(diǎn)Q(c,d)在函數(shù)y=x+2的圖象上,則|PQ|的最小值為2$\sqrt{2}$.

分析 先求出與直線y=x+2平行且與曲線y=-x2+3lnx相切的直線y=x+m.再求出此兩條平行線之間的距離,即可得出結(jié)論.

解答 解:設(shè)直線y=x+m與曲線y=-x2+3lnx相切于P(x0,y0),
由函數(shù)y=-x2+3lnx,∴y′=-2x+$\frac{3}{x}$,
令-2x0+$\frac{3}{{x}_{0}}$=1,又x0>0,解得x0=1.
∴y0=-1+3ln1=-1,
可得切點(diǎn)P(1,-1).
代入-1=1+m,解得m=-2.
可得與直線y=x+2平行且與曲線y=-x2+3lnx相切的直線y=x-2.
而兩條平行線y=x+2與y=x-2的距離d=2$\sqrt{2}$.
故答案為2$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程、兩條平行線之間的距離、最小值的轉(zhuǎn)化問題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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