Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{2^x}+2}}{2}，x≤1\\|ln（{x-1}）|，x＞1\end{array}$，則函數(shù)F（x）=f[f（x）]-af（x）-$\frac{3}{2}$的零點個數(shù)是4個時，下列選項是a的取值范圍的子集的是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{2}，+∞}）∪\left\{{\frac{ln2}{2}}\right\}$
• B． $[{\frac{ln2}{2}，+∞}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}）∪\left\{{\frac{ln2}{2}}\right\}$
• D． $[{\frac{ln2}{2}，\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 作出f（x）的函數(shù)圖象，判斷方程f（x）=t的根的分布情況，得出f（t）=at+$\frac{3}{2}$的交點橫坐標(biāo)的范圍，從而得出答案．

解答 解：作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

令f（x）=t，則由圖象可知：
當(dāng)t=0時，f（x）=t有1解，
當(dāng)0＜t＜1或t＞2時，f（x）=t有2解，
當(dāng)1＜t≤2時，f（x）=t有3解，
令F（x）=0得f（t）=at+$\frac{3}{2}$，
顯然t=0是方程f（t）=at+$\frac{3}{2}$的一個解，
而f（x）=0只有一解，
故直線y=at+$\frac{3}{2}$直線在（1，2）上與f（x）有1個交點即可；
（1）若a$＞\frac{1}{2}$，顯然直線y=ax+$\frac{3}{2}$與f（x）在（1，2）上有1個交點，符合題意；
（2）當(dāng)a=$\frac{ln2}{2}$時，直線y=at+$\frac{3}{2}$與f（t）在（-∞，1）上的圖象相切，且與f（x）在（1，2）上有1個交點，符合題意．
故選A．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．