7.數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=$\frac{2(n+2)}{n+1}$an(n∈N*),$\frac{{a}_{2017}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2016}}$=( 。
A.$\frac{1009}{1008}$B.$\frac{2015}{1007}$C.$\frac{2016}{2015}$D.$\frac{2015}{2014}$

分析 利用$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2(n+2)}{n+1}$及a1=2累乘可知an=(n+1)2n-1,進而利用錯位相減法計算可知Sn=n•2n,代入計算即得結(jié)論.

解答 解:因為an+1=$\frac{2(n+2)}{n+1}$an(n∈N*),
所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2(n+2)}{n+1}$,
又因為a1=2,
所以當n≥2時,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$
=$\frac{2(n+1)}{n}$•$\frac{2n}{n-1}$•…•$\frac{2×(1+2)}{1+1}$
=$\frac{n+1}{2}$•2n-1
所以an=2•$\frac{n+1}{2}$•2n-1=(n+1)2n-1,
記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,
則Sn=2×20+3×21+…+(n+1)2n-1,
2Sn=2×21+3×22+…+(n+1)2n,
兩式相減,得:-Sn=2+(21+22+…+2n-1)-(n+1)2n=2+$\frac{2(1-{2}^{n-1})}{1-2}$-(n+1)2n
所以Sn=n•2n,
所以$\frac{{a}_{2017}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2016}}$=$\frac{2018•{2}^{2016}}{2016•{2}^{2016}}$=$\frac{1009}{1008}$,
故選:A.

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查累加法求通項,考查錯位相減法求和,考查運算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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