Question

2．如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點(diǎn)，且CA=CB=CD=BD=$\sqrt{2}$，AB=AD=1，則異面直線AB與CD所成角的正切值為．（　�。�

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{8}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，則直線OE與EM所成的銳角∠OEM就是異面直線AB與CD所成的角，由此能求出異面直線AB與CD所成角的正切值．

解答 解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，
由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB，OE∥DC，
∴直線OE與EM所成的銳角∠OEM就是異面直線AB與CD所成的角，
在△OME中，EM=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}$，OE=$\frac{1}{2}DC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線，
∴OM=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠OEM=$\frac{E{O}^{2}+E{M}^{2}-O{M}^{2}}{2×EO×EM}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
tan∠OEM=$\sqrt{7}$．
∴異面直線AB與CD所成角的正切值為$\sqrt{7}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間能力的培養(yǎng)．