【題目】已知 為坐標(biāo)原點(diǎn), , 是橢圓 上的點(diǎn),且 ,設(shè)動點(diǎn) 滿足 .
(Ⅰ)求動點(diǎn) 的軌跡 的方程;
(Ⅱ)若直線 與曲線 交于 兩點(diǎn),求三角形 面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn) , , ,
則由 ,得 ,
即 , ,因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓 上,
所以 , ,
故
,
因?yàn)? ,
所以動點(diǎn) 的軌跡 的方程為 .
(Ⅱ)將曲線 與直線 聯(lián)立: ,消 得: ,
∵直線 與曲線 交于 兩點(diǎn),設(shè) , ,
∴ ,又∵ ,得 ,
, ,
∴ ,
∵點(diǎn) 到直線 的距離 ,
∴
,當(dāng) 時(shí)等號成立,
∴三角形 面積的最大值為
【解析】(1)首先根據(jù)向量的坐標(biāo)公式計(jì)算出x = x1 + 3 x 2 , y = y1 + 3 y2的關(guān)系式,代入到橢圓的方程整理可得x2 + 3 y2的代數(shù)式再結(jié)合直線的斜率關(guān)系即可求出x1 x2 + 3 y1 y2 = 0,即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程。(2)結(jié)合題意利用橢圓的定義即可求出c的值再聯(lián)立直線與橢圓的方程,消元由判別式以及韋達(dá)定理得到關(guān)于m的代數(shù)式,并把上式代入到弦長公式和三角形中利用二次函數(shù)的最值即可。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) , .
(Ⅰ)當(dāng) 在 處的切線與直線 垂直時(shí),方程 有兩相異實(shí)數(shù)根,求 的取值范圍;
(Ⅱ)若冪函數(shù) 的圖象關(guān)于 軸對稱,求使不等式 在 上恒成立的 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)為偶函數(shù),且f(1)=2,則f(8)+f(5)的值為( )
A.2
B.1
C.-1
D.-2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若 的平均數(shù)為3,標(biāo)準(zhǔn)差為4,且 , ,則新數(shù)據(jù) 的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為( )
A.-9 12
B.-9 36
C.3 36
D.-3 12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐 的底面積 是邊長為 的正三角形, 點(diǎn)在側(cè)面 內(nèi)的射影 為 的垂心,二面角 的平面角的大小為 ,則 的長為( )
A.3
B.
C.
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列 , , , 為 階“期待數(shù)列”:
① ;
② .
(1)分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的 3 階和 4 階“期待數(shù)列”.
(2)若某 2017 階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(3)記 階“期待數(shù)列”的前 項(xiàng)和為 ,試證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:在平面內(nèi),點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)到曲線的距離,在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓:及點(diǎn),動點(diǎn)到圓的距離與到點(diǎn)的距離相等,記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過原點(diǎn)的直線(不與坐標(biāo)軸重合)與曲線交于不同的兩點(diǎn),點(diǎn)在曲線上,且,直線與軸交于點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線與拋物線相交于不同兩點(diǎn)、, 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;
(2)若直線又與圓相切于點(diǎn),且為線段的中點(diǎn),求直線的方程;
(3)若,點(diǎn)在線段上,滿足,求點(diǎn)的軌跡方程.
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