A. | (√25,35) | B. | (√25,√55) | C. | (√55,35) | D. | (0,√55) |
分析 法一:聯(lián)立{x2a2+y22=1x2+y2=(2+c)2,得c2a2x2=(2+c)2-b2,推導(dǎo)出{2<c2<a−c,從而{5e2>15e2−8e+3>0,且0<e<1,由此能出橢圓的離心率e的取值范圍.
法二:圓的半徑滿足{2+c>b2+c<a,由2+c>b,得2c>b,再平方得4c2>b2,在橢圓中,a2=b2+c2<5c2,從而e=ca>√55,由2+c<a,得b+2c<2a,推導(dǎo)出e<35.由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍.故選:C.
解答 解:法一:聯(lián)立{x2a2+y22=1x2+y2=(2+c)2,消去y2,得c2a2x2=(2+c)2-b2,
∵橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)和圓x2+y2=(2+c)2,(c為橢圓的半焦距),有四個不同的交點,
∴0<x2<a2,∴0<c2a2x2<c2,
∴0<(2+c)2-b2<c2,
∴b<2+c<a,
∴{2<c2<a−c,∴{b<2cb<2a−2c,
∴{2<4c22<4a2+4c2−8ac,∴{5e2>15e2−8e+3>0,且0<e<1,
解得√55<e<35.
故選:C.
法二:∵橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)和圓x2+y2=(2+c)2,(c為橢圓的半焦距),有四個不同的交點,
橢圓與圓的中心都是原點,
∴圓的半徑滿足{2+c>b2+c<a,
由2+c>b,得2c>b,再平方得4c2>b2,
在橢圓中,a2=b2+c2<5c2,
∴e=ca>√55,
由2+c<a,得b+2c<2a,
再平方,得:b2+4c2+4bc<4a2,
∴3c2+4bc<3c2,∴4bc<3b2,
∴4c<3b,∴16c2<9b2,
∴16c2<9a2-9c2,∴9a2>25c2,
∴c2a2<925,∴e<35.
綜上,橢圓的離心率e的取值范圍是(√55,35).
故選:C.
點評 本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法,考查橢圓性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | 9 | B. | 10 | C. | 3 | D. | √10 |
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