Question

4．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（Ⅰ）求證：B₁D⊥平面A₁B₁C₁
（Ⅱ）求直線BB₁與平面A₁BC₁所成角正弦值．

Answer 1

分析 （I）連結B₁D₁，通過證明A₁C₁⊥平面DD₁B₁得出A₁C₁⊥B₁D，同理可得B₁D⊥A₁B，故而B₁D⊥平面A₁B₁C₁；
（II）設正方體棱長為1，利用V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}B{C}_{1}}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$得出B₁到平面A₁BC₁的距離為h，從而得出所求線面角的正弦值．

解答 （I）證明：連結B₁D₁，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥A₁C₁，
∵四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
又DD₁∩B₁D₁=D₁，
∴A₁C₁⊥平面DD₁B₁，
又B₁D?平面DD₁B₁，
∴A₁C₁⊥B₁D，
同理可證：B₁D⊥A₁B，
又A₁C₁?平面A₁BC₁，A₁B?平面A₁BC₁，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁．
（II）解：設正方體棱長為1，則△A₁BC₁是邊長為$\sqrt{2}$的等邊三角形，
設B₁到平面A₁BC₁的距離為h，
則V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}B{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}B{C}_{1}}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×h$=$\frac{\sqrt{3}h}{6}$，
又V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}B{C}_{1}}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線BB₁與平面A₁BC₁所成角正弦值為$\frac{h}{B{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計算，屬于中檔題．