分析 ( I)依題意,直線l的橫、縱截距均存在,結(jié)合橫截距是縱截距的2倍,求出a值,可得直線l的方程;
( II)依題意,直線的斜率必存在,故可設(shè)直線l:y=kx+3,聯(lián)立直線與圓C:x2+y2-2x-4y-6=0方程,由OA⊥OB結(jié)合韋達(dá)定理,可得k值,進(jìn)而得到直線l的方程.
解答 解:( I)依題意,直線l的橫、縱截距均存在,
所以a≠-1,
∴令x=0,得直線l的縱截距y=a-2,
令y=0,得直線l的橫截距$x=\frac{a-2}{a+1}$…(2分)
①當(dāng)a=2時,直線l的橫、縱截距均為0,滿足橫截距是縱截距的2倍,
此時,直線l過原點(diǎn)且方程為:3x+y=0…(3分)
②當(dāng)a≠2時,直線l的橫、縱截距均不為0∴依題意有:$\frac{a-2}{a+1}=2(a-2)$,
解得$a=-\frac{1}{2}$…(4分)∴此時直線l的方程為:x+2y+5=0…(5分)∴綜上述,直線l的方程為:3x+y=0或x+2y+5=0…(6分)
( II)依題意,直線的斜率必存在,故可設(shè)直線l:y=kx+3,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+3\\{x^2}+{y^2}-2x-4y-6=0\end{array}\right.$,
消y得:(1+k2)x2+2(k-1)x-9=0,
∴△=4(k-1)2+36(1+k2)>0恒成立,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則${x_1}+{x_2}=-\frac{2(k-1)}{{1+{k^2}}},{x_1}{x_2}=\frac{-9}{{1+{k^2}}}$…(8分)
∴${y_1}{y_2}=(k{x_1}+3)(k{x_2}+3)={k^2}{x_1}{x_2}+3k({x_1}+{x_2})+9$,
又OA⊥OB,即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$,
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=({k^2}+1){x_1}{x_2}+3k({x_1}+{x_2})+9=-\frac{6k(k-1)}{{1+{k^2}}}=0$…(10分)
∴k=0或k=1…(11分)
∴直線l的方程為:y=3或x-y+3=0.…(12分)
點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線的方程,直線與圓的位置關(guān)系,向量的數(shù)量積公式,難度中檔.
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A. | 43個 | B. | 45個 | C. | 46個 | D. | 48個 |
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A. | -2 | B. | -1 | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | 2 |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{5}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}}{4}$ | D. | $\frac{5}{4}$ |
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A. | n≤2016? | B. | n≤2017? | C. | n>2016? | D. | n>2017? |
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