13.已知矩形ABCD中,AB=3,BC=1,M,N分別為包含端點的邊BC,CD上的動點,且滿足|$\overrightarrow{BM}$||$\overrightarrow{CD}$|=|$\overrightarrow{BC}$||$\overrightarrow{CN}$|,則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MN}$的最小值是(  )
A.-7B.-10C.-8D.-9

分析 根據(jù)條件,可分別以DC,CB所在直線為x軸,y軸,建立平面直角坐標系,并設(shè)$|\overrightarrow{CN}|=x,0≤x≤3$,進而可求得$|\overrightarrow{BM}|=\frac{x}{3}$,從而可寫出M,N,A的坐標,從而求出向量$\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MN}$的坐標,進行數(shù)量積的坐標運算即可得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MN}=-\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{8x}{3}$,這樣配方即可求出該數(shù)量積的最小值.

解答 解:分別以DC,CB所在直線為x,y軸,建立如圖所示平面直角坐標系,設(shè)$|\overrightarrow{CN}|=x$,0≤x≤3;
∵$|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{CN}|$;
∴$3|\overrightarrow{BM}|=x$;
∴$|\overrightarrow{BM}|=\frac{x}{3}$;
∴得:$M(0,1-\frac{x}{3}),N(-x,0),A(-3,1)$;
∴$\overrightarrow{MN}=(-x,\frac{x}{3}-1),\overrightarrow{AM}=(3,-\frac{x}{3})$;
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MN}=-3x-\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{x}{3}$=$-\frac{1}{9}(x+12)^{2}+\frac{144}{9}$;
∵0≤x≤3;
∴x=3時,$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MN}$取得最小值-9.
故選D.

點評 考查通過建立坐標系,利用坐標解決向量問題的方法,能求平面上點的坐標,以及配方法求二次函數(shù)的最值,數(shù)量積的坐標運算.

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