18.已知$|{\overrightarrow a}|=1,|{\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$.
(1)$\sqrt{2}$$\overrightarrow a=\overrightarrow b$,求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$
(2)若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°,求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|;
(3)若$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直,求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角.

分析 (1)由已知可得$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$且方向相同,然后直接由數(shù)量積公式求值;
(2)由已知求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$,開方得答案;
(3)$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直,可得${\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1$,再由數(shù)量積求夾角公式求得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角.

解答 解:(1)∵$\sqrt{2}$$\overrightarrow a=\overrightarrow b$,∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$且方向相同,因此$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|•cos0=\sqrt{2}$;
(2)∵$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°,∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1×\sqrt{2}×cos60°=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=1+\sqrt{2}+2$=$3+\sqrt{2}$,因此$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{3+\sqrt{2}}$;
(3)∵$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直,∴$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)•\overrightarrow{a}=0$,整理得${\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1$,
令$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ,因此cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}=\frac{1}{1•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角$θ=\frac{π}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查數(shù)量積求向量的夾角,是中檔題.

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