Question

3．已知二次函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得最小值m-1（m≠0）．設(shè)f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求二次函數(shù)y=g（x）的解析式（假設(shè)m為已知常數(shù)）；
（2）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P[到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為$\sqrt{2}$，求m的值；
（3）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的形式及函數(shù)的最小值，設(shè)出f（x），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是函數(shù)的斜率，列出方程，求出a，m的值．
（2）先根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式設(shè)出函數(shù)g（x）的解析式，然后對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行求出a的值，進(jìn)而可確定函數(shù)g（x）、f（x）的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（3）先根據(jù)（1）的內(nèi)容得到函數(shù)y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x²+2x+m=0，然后先對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)等于0進(jìn)行討論，再當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0時(shí)，即為二次方程時(shí)根據(jù)方程的判別式進(jìn)行討論即可得到答案．

解答 解：（1）依題可設(shè)f（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），
則f′（x）=2ax+2a；
又f′（x）的圖象與直線y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∵y=f（x）在x=-1處取得最小值為0．
∴m-1=0
∴m=1
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）依題可設(shè)g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），則g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；
又g'（x）的圖象與直線y=2x平行∴2a=2∴a=1
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，f（x）=$\frac{g（x）}{x}$，
設(shè)P（x_o，y_o），則|PQ|²=x₀²+（y0-2）2=x₀²+（x0+$\frac{m}{{x}_{0}}$）2=2x₀²+$\frac{{m}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+2m≥2$\sqrt{2{m}^{2}}$+2m=2$\sqrt{2}$|m|+2m
當(dāng)且僅當(dāng)2x₀²=$\frac{{m}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$時(shí)，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值$\sqrt{2}$
當(dāng)m＞0時(shí)，$\sqrt{（2\sqrt{2}+2）m}$=$\sqrt{2}$解得m=$\sqrt{2}$-1
當(dāng)m＜0時(shí)，$\sqrt{（-2\sqrt{2}+2）m}$=$\sqrt{2}$解得m=-$\sqrt{2}$-1
（2）由y=f（x）-kx=（1-k）x+$\frac{m}{x}$+2=0（x≠0），得（1-k）x²+2x+m=0（*）
當(dāng)k=1時(shí)，方程（*）有一解x=-$\frac{m}{2}$，函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)x=-$\frac{m}{2}$；
當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）有二解?△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，k＞1-$\frac{1}{m}$，
函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)x=$\frac{-2±\sqrt{4-4m（1-k）}}{2（1-k）}$，即x=$\frac{1±\sqrt{1-m（1-k）}}{k-1}$；
若m＜0，k＜1-$\frac{1}{m}$，
函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)x=$\frac{-2±\sqrt{4-4m（1-k）}}{2（1-k）}$，即x=$\frac{1±\sqrt{1-m（1-k）}}{k-1}$；
當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）有一解?△=4-4m（1-k）=0，k=1-$\frac{1}{m}$，
函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)x=$\frac{1}{k-1}$=-m
綜上，當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)x=-$\frac{m}{2}$；
當(dāng)k＞1-$\frac{1}{m}$（m＞0），或k＜1-$\frac{1}{m}$（m＜0）時(shí)，
函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)即x=$\frac{1±\sqrt{1-m（1-k）}}{k-1}$；
當(dāng)k=1-$\frac{1}{m}$時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)x=$\frac{1}{k-1}$=-m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．主要考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和學(xué)生的計(jì)算能力．