Question

2．已知圓C過點(diǎn)A（1，-1），B（-1，1），且圓心在直線x+y-2=0．
（1）求圓C的方程；
（2）求過點(diǎn)N（3，2）且與圓C相切的直線方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標(biāo)、半徑，即可求圓C的方程；
（2）分類討論，利用d=r，即可求過點(diǎn)N（3，2）且與圓C相切的直線方程．

解答 解：（1）由題意知，圓心在線段AB的中垂線上，
又Qk_AB=-1，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），則AB的中垂線方程為y=x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y-2=0\end{array}\right.$得圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑$r=\sqrt{{{（{1-1}）}^2}+{{（{-1-1}）}^2}}=2$．
所求圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-2=k（x-3）與圓相切，
由d=r得$d=\frac{{|{k×1-1-3k+2}|}}{{\sqrt{{1^2}+{k^2}}}}=2$，解得$k=-\frac{3}{4}$．
所以直線方程為3x+4y-17=0．
又因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓的切線有兩條，則另一條方程為x=3也符合題意，
綜上，圓的切方程為3x+4y-17=0和x=3．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．