【題目】設(shè)函數(shù)為常數(shù)) .

(1)當(dāng)時(shí),求曲線處的切線方程:

(2)若函數(shù)內(nèi)存在唯一極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并判斷,是內(nèi)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).

【答案】(1) (2) 為函數(shù)的極小值點(diǎn)

【解析】

1)求出,,即可求出切線方程;

2)轉(zhuǎn)化為有唯一解,分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),再轉(zhuǎn)為直線與構(gòu)造函數(shù)的交點(diǎn),通過(guò)求導(dǎo)研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì),即可求解.

: (1)當(dāng)時(shí),,

所求切線的斜率,又.

所以曲線處的切線方程為.

(2)

,則要使得內(nèi)存在唯一極值點(diǎn),

存在唯一零點(diǎn),

即方程內(nèi)存在唯一解,

,即范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn).

設(shè)函數(shù),

單調(diào)遞減,

;當(dāng)時(shí),,

時(shí)與范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn),設(shè)為

當(dāng)時(shí),,

為減函數(shù):

當(dāng)時(shí),,

,為增函數(shù).

為函數(shù)的極小值點(diǎn).

綜上所述:,且為函數(shù)的極小值點(diǎn)

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