Question

9．已知數(shù)列{b_n}滿足b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，其中a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$
（1）求b₁，b₂，b₃，并猜想b_n的表達(dá)式（不必寫出證明過(guò)程）；
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}_{n}•lo{g}_{2}_{n+1}}$，數(shù)列|c_n|的前項(xiàng)和為S_n，求證S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$可得：a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{6}{5}$．又b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，可得b₁，b₂，b₃．猜想b_n=2ⁿ⁺¹．
（2）c_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}_{n}•lo{g}_{2}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，即可得出數(shù)列|c_n|的前項(xiàng)和為S_n．

解答 解：（1）由a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$可得：a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{6}{5}$．又b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，
則b₁=4，b₂=8，b₃=16．
猜想b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（2）證明：c_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}_{n}•lo{g}_{2}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴數(shù)列|c_n|的前項(xiàng)和為S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．
∴S_n＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．