Question

5．如圖ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=4，直三棱柱的高等于4，線段B₁C₁的中點(diǎn)為D，線段BC的中點(diǎn)為E，線段CC₁的中點(diǎn)為F．
（1）求異面直線AD、EF所成角的大��；
（2）求三棱錐D-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}$的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式得出AD，EF的夾角；
（2）證明AE⊥平面DEF，求出AE和S_△DEF，代入體積公式計(jì)算．

解答 解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AA₁分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
依題意有D（2，2，4），A（0，0，0），E（2，2，0），F(xiàn)（0，4，2），
所以$\overrightarrow{AD}=（2，2，4）\overrightarrow{，EF}=（-2，2，2）$．
設(shè)異面直線AD、EF所成角為α，則$cosα=\frac{{|\overrightarrow{AD}\overrightarrow{•EF}|}}{{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{EF}|}}$=$\frac{|-4+4+8|}{{\sqrt{4+4+16}•\sqrt{4+4+4}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
所以$α=arccos\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
即異面直線AD、EF所成角的大小為$arccos\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．
（2）∵AB=AC=4，AB⊥AC，∴$BC=4\sqrt{2}$，$AE=2\sqrt{2}$，DE=AA₁=4，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
由E為線段BC的中點(diǎn)，且AB=AC，
∴AE⊥BC，
又BB₁⊥面ABC，∴AE⊥BB₁，
∴AE⊥面BB₁C₁C，
∴${V_{D-AEF}}={V_{A-DEF}}=\frac{1}{3}{S_{△DEF}}•AE=\frac{1}{3}•4\sqrt{2}•2\sqrt{2}=\frac{16}{3}$，
∴三棱錐D-AEF的體積為$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了異面直線所成的角，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．