Question

20．三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐，其俯視圖如圖所示，主視圖的邊界是底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，則主視圖的面積等于$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，正三棱錐有三個(gè)面都是等腰直角三角形，且邊長(zhǎng)相等．根據(jù)俯視圖可得，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．利用體積法，求其高，即可得主視圖的高．可得主視圖的面積

解答 解：由題意，正三棱錐有三個(gè)面都是等腰直角三角形，
（如圖：SAB，SBC，SAC）
且邊長(zhǎng)相等為$\sqrt{2}$，
其體積為V=$\frac{1}{3}×$$\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
根據(jù)俯視圖可得，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．
其面積為：$\sqrt{3}$．
設(shè)主視圖的高OS=h，
則$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×h$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
主視圖的邊界是底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，其高為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴得面積S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}×2=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{6}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三視圖與空間幾何體的體積和表面積的計(jì)算，考慮空間想象能力，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．