Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+m}{{e}^{x}}$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行
（1）函數(shù)f（x）是否存在極值？若存在，請(qǐng)求出，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2）已知g（x）=$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$，求證：當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞1+lnx恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出x＞0時(shí)，e^x＞x+1，得到$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$＞$\frac{{e}^{x}}{e}$①，lnx+1≤$\frac{1}{e}$•e^x②，結(jié)合①②證出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知：f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-（lnx+m）}{{e}^{x}}$⇒f′（1）=$\frac{1-m}{e}$=0，解得：m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-（lnx+1）}{{e}^{x}}$，令h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，
知h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且h（1）=0，
因此f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，f′（x）＜0，解得：x＞1，
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	正	0	負(fù)
f（x）	增	極大	減

因此f（x）有極大值f（1）=$\frac{1}{e}$；
（2）令k（x）=e^x-x-1，（x＞0），
k′（x）=e^x-1＞0，（x＞0）恒成立，
因此k（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．且k（0）=0，
所以k（x）＞0，（x＞0）恒成立，
因此當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x+1，
e^2x-1＞（x+1）$\frac{{e}^{x}}{e}$，得：$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$＞$\frac{{e}^{x}}{e}$①，
又由（1）可知f（x）≤f（1）=$\frac{1}{e}$，
故$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$≤$\frac{1}{e}$恒成立，所以lnx+1≤$\frac{1}{e}$•e^x②，
由①②可知$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$＞1+lnx．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．