Question

4．已知函數(shù)f（x）=me^x+x+1．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），證明：x₁+x₂＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出x₂+x₁=$\frac{{x}_{2}+1}{{e}^{{x}_{2}}}$+1+x₂，由m=$\frac{{-x}_{1}-1}{{e}^{{x}_{1}}}$=$\frac{{-x}_{2}-1}{{e}^{{x}_{2}}}$，解得：-1＜x₂＜0，令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$+x+1，（-1＜x＜0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=me^x+1，
m≥0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
m＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＜ln（-$\frac{1}{m}$），
令f′（x）＜0，解得：x＞ln（-$\frac{1}{m}$），
故f（x）在（-∞，ln（-$\frac{1}{m}$））遞增，在（ln（-$\frac{1}{m}$），+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：若f（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），
由（Ⅰ）得：f（x）max=f（ln（-$\frac{1}{m}$））=ln（-$\frac{1}{m}$）＞0，
解得：-1＜m＜0，
由f（x₁）=f（x₂）得：m=$\frac{{-x}_{1}-1}{{e}^{{x}_{1}}}$①，
m（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）+（x₁-x₂）=0②，
將①代入②整理得：
x₁=$\frac{{x}_{2}+1}{{e}^{{x}_{2}}}$+1，
故x₂+x₁=$\frac{{x}_{2}+1}{{e}^{{x}_{2}}}$+1+x₂，
由m=$\frac{{-x}_{1}-1}{{e}^{{x}_{1}}}$=$\frac{{-x}_{2}-1}{{e}^{{x}_{2}}}$得：-1＜$\frac{{-x}_{2}-1}{{e}^{{x}_{2}}}$＜0，
解得：-1＜x₂＜0，
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$+x+1，（-1＜x＜0），
則g′（x）=1-xe^-x＞0，
故g（x）在（-1，0）遞增，
g（x）＞g（-1）=0，
故x₂+x₁=$\frac{{x}_{2}+1}{{e}^{{x}_{2}}}$+1+x₂＞0．

點評 本題考查函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點個數(shù)的問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．