Question

2．已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+（c-2b）cosA=0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡acosC+（c-2b）cosA=0，由兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式求出cosA，由內(nèi)角的范圍求出A；
（Ⅱ）法一：由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，利用三角形面積公式即可求解；
法二：由（Ⅰ）得B+C=$\frac{2π}{3}$⇒C=$\frac{2π}{3}$-B（0＜B＜$\frac{2π}{3}$），
由正弦定理得b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB，c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinC，利用三角形面積公式可得S_△ABC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由acosC+（c-2b）cosA=0及正弦定理得：
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA．
所以sin（A+C）=2sinBcosA．…（2分）
即sinB=2sinBcosA．
因為sinB≠0，所以cosA=$\frac{1}{2}$．…（4分）
又0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知A=$\frac{π}{3}$，又a=2，由余弦定理得2²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，…（8分）
即b²+c²-bc=4⇒bc+4=b²+c²≥2bc⇒bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立．…（10分）
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$，
即當(dāng)b=c=2時，S_△ABC取得最大值$\sqrt{3}$．…（12分）
法二：由（Ⅰ）得B+C=$\frac{2π}{3}$⇒C=$\frac{2π}{3}$-B（0＜B＜$\frac{2π}{3}$），
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
所以b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB，c=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinC．…（8分）
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB×$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinCsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinBsinC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B）
=sin2B-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2B+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（10分）
易知-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
故當(dāng)2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$時，S_△ABC取得最大值，最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，以及整體代換，屬于中檔題．