Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n+2，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2-b_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得a_n；運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1，即可得到{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${c_n}={a_n}{b_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閍₁=1，a_n+1-a_n=2，
所以{a_n}為首項(xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
又當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=2-b₁，所以b₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2-b_n…①，S_n-1=2-b_n-1…②
由①-②得b_n=-b_n+b_n-1，即$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$，
所以{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
故${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，n∈N*；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${c_n}={a_n}{b_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$，
則${T_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{3}{2^1}+$$\frac{5}{2^2}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$①，
$\frac{1}{2}{T_n}$=$\frac{1}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+$$\frac{2n-3}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n-1}{2^n}$②，
①-②得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+$$\frac{2}{2^2}+…+$$\frac{2}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2n-1}{2^n}$
=$1+1+\frac{1}{2}+$$…+\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{2n-1}{2^n}$=$1+\frac{{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{2^n}$=$3-\frac{2n+3}{2^n}$．
所以${T_n}=6-\frac{2n+3}{{{2^{n-1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．