Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=m（x+1）²ln（x+1）+[f′（e-1）-3e]x，其中x＞-1，曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為y=0
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）證明：當(dāng)x≥0時，f（x）≥x²
（Ⅲ）若當(dāng)x≥0時，f（x）≥ax²恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）．利用f′（e-1）求出m的值，從而求出函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²，（x≥0），求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的判斷函數(shù)的單調(diào)性，推出g（x）≥g（0）=0．推出結(jié)果f（x）≥x²．
（Ⅲ）設(shè)h（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-mx²，求出導(dǎo)函數(shù)h′（x），利用（Ⅱ） 中的結(jié)果，通過討論m的范圍，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2m（x+1）ln（x+1）+m（x+1）+f′（e-1）-3e，
∴f′（e-1）=2me+me+f′（e-1）-3e，
故m=1，
曲線y=f（x）在（0，0）處的切線方程是：y=0，
∴f′（0）=m+f′（e-1）-3e=0，
∴f′（e-1）=3e-1，
∴f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x；
（Ⅱ）f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x，
設(shè)g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²，（x≥0），g′（x）=2（x+1）ln（x+1）-x，
（g′（x））′=2ln（x+1）+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（0）=0．∴f（x）≥x²；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-mx²，
h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+x-2mx，
（Ⅱ） 中知（x+1）²ln（x+1）≥x²+x=x（x+1），
∴（x+1）ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥3x-2mx，
①當(dāng)3-2m≥0即m≤$\frac{3}{2}$時，h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（0）=0，成立．
②當(dāng)3-2m＜0即m＞$\frac{3}{2}$時，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+（1-2m）x，
h′′（x）=2ln（x+1）+3-2m，令h′′（x）=0，得x₀=${e}^{\frac{2m-3}{2}}$-1＞0，
當(dāng)x∈[0，x₀）時，h′（x）＜h′（0）=0，∴h（x）在[0，x₀）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，不成立．
綜上，m≤$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．