Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C₁：x+y=1+$\sqrt{3}$，圓C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線C₁與圓C₂的交點(diǎn)為A，B，且A為OM的中點(diǎn)，求△OBM的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線C₁與圓C₂的極坐標(biāo)方程聯(lián)立可得cosθ+sinθ=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，求出θ，即可求△OBM的面積．

解答 解：（Ⅰ）直線C₁：x+y=1+$\sqrt{3}$，極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=1+$\sqrt{3}$，
圓C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），普通方程為x²+y²=4，極坐標(biāo)方程為ρ=2；
（Ⅱ）直線C₁與圓C₂的極坐標(biāo)方程聯(lián)立可得cosθ+sinθ=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$，
∴∠AOB=$\frac{π}{6}$，
∵A為OM的中點(diǎn)，∴|OM|=4，
∴△OBM的面積$\frac{1}{2}$|OM||OB|sin$\frac{π}{6}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．