【題目】設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且.

Ⅰ)求橢圓的離心率;

Ⅱ)若過(guò)、、三點(diǎn)的圓恰好與直線 相切,求橢圓的方程;

III)在(Ⅱ)的條件下,過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,說(shuō)明理由

【答案】123

【解析】試題分析:(1)設(shè),由,所以,由于,即的中點(diǎn),故,即,于是,于是的外接圓圓心為,半徑,該圓與直線相切,則,即可得出值,從而可求橢圓的方程;

(2)由(1)可知,設(shè),聯(lián)立方程組,整理得,寫出韋達(dá)定理,由于菱形的對(duì)角線垂直,故, 即,即,由已知條件知,所以,即可求出的取值范圍.

試題解析:

(1)設(shè),由

,因?yàn)?/span>,所以,

由于,即的中點(diǎn),

,所以,即

于是,于是的外接圓圓心為,半徑,

該圓與直線相切,則,解得,

所以,所求橢圓的方程為.

(2)由(1)可知,

設(shè),聯(lián)立方程組,整理得,

設(shè),則,

,

由于菱形的對(duì)角線垂直,故,

,即,

由已知條件知,

所以,所以

故存在滿足題意的點(diǎn),且的取值范圍是,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),不合題意.

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